ГАИ на место происшествия приезжала? если да, то в протоколе указываются повреждения автомобиля, по ним уже можно судить о стоимости ремонта.
когда у меня было дтп то владелец авто проводил автоэкспертизу, при чем предупреждал меня об этом: как в личной встрече так и телеграммой (по такому адресу тогда-то будет проводиться).
деньги в досудебном порядке запросил именно по сумме указанной в экспертизе. водителю в описанном тобой случае надо объяснить суду с чего он просит такую сумму. если не сможет, то и не получит удовлетворения.
я бы ответил что пусть обращается в суд. возможно есть встречная статья, когда можно предъявить о превышении прав взыскания ущерба. в моем случае юрист, к которому обратился за консультацией, сказал что не стоит доводя дело до суда рассчитывать на встречное взыскание по статье 1100 ГК РФ (т.е. я хоть и виноват но могу требовать оплату лечения), т.к. суды очень не любят такое злоупотребление (когда явно виноват сам и пытаешься еще деньги стрясти) и не идут на встречу. т.е. когда истец хочет гораздо больше чем ему полагается (или вообще не полагается) получит скорее всего только меньше.
более того возможно через ГАИ попросить обязать владельца авто определить его на стоянку и не пользоваться им до проведения экспертизы повреждений. пусть стоит и водитель платит за стоянку и не пользуется авто. а суд может долго тянуться, не один месяц – об этом можно сказать водителю, с предложением обойтись 10 000 руб. в моем случае авто стоял на стоянке до рассмотрения процесса в ГАИ – это более 7 месяцев (ГАИ было искитимское, и они ждали заключение судмедэкспертизы по повреждениям средней тяжести). оставить авто на стоянке попросили владельца гаишники без моего участия.
насчет юриста – по хорошему он нужен если судиться будете. но вполне возможно что пыл водителя быстро сойдет на нет при грамотном ответе в его адрес. а для составления грамотного ответа можно обратиться за разовой консультацией в зарекомендовавшую себя (по отзывам) юридическую контору. мне было несложно найти такую с бесплатной консультацией.

..., то в эти 200тыр случайно не входит требование возместить юридические расходы? Если входит, то к кому они обращались за юридической поддержкой (в претензии обычно указывают)?

Автоюристы есть. Завтра позвоню, спрошу будет кто-нибудь браться за такое дело.
Здесь суд, возможно, даже лучшее решение. Провести трассологическую экспертизу – сопоставить велосипед и повреждения на автомобиле. Плюс суд решает кто в том происшествии виноват и на сколько. Имел ли водитель возможность предотвратить ДТП и т.п.

Что-то мне кажется, исходя из написанного тут вина водителя авто на 100%.

Плюс независимо от наличия вины/отсутствия вины водителя и ребенка, владелец авто должен возместить вред причиненный источником повышенной опасности 3-им лицам. У владельца авто есть хороший шанс в минус уйти.

чем закончилось?

ребёнка лет 10 сбивает машина вне пп, перелом бедра, водитель всячески изъявляет намерения помочь, родители, понимая вину ребёнка, не обостряют ситуацию, менты вроде как тоже. всё потихоньку забывается и тут, почти спустя два года, заявляются менты и говорят, что против водителя возбуждена уголовка, нужно провести ну типа следственный эксперимент как ребёнок перебегал и всё такое. а родителям уже нафиг не надо ничего, претензий не имеют и травмировать психику ребёнка не хотят.